ВОССТАНОВЛЕНИИ

Использование управляемой цепи Маркова в качестве модели для аппроксимации поведения обобщенного параметра АС порож­дает необходимость исследования-проблемы неполного восстанов­ления. Сущность этой проблемы состоит :в том, что наличие различ­ных состояний и использование правил вида (3.3) означает воз­можность изменить текущее состояние параметра до одного из промежуточных между 1 и F состояний, которые отличаются по безотказности.

Неполное восстановление объясняется действием факторов, ко­торые условно можно разделить на две группы. К 1-й группе отне­сем факторы, связанные с естественным старением элементов АС. Результатом воздействия этих факторов является изменение ха­рактеристик случайного процесса, описывающего поведение обоб­щенного параметра во времени. Учет таких факторов в формули­ровке задачи оптимального управления техническим состоянием АС сводится только к заданию новых значений для элементов мат­рицы вероятностей переходов без изменения структуры целевой — функции и системы ограничений. Вторая группа факторов включа­ет в себя компоненты, определяющие вид решений о проведении восстановительных работ и возможность их осуществления.

Введем для описания результатов применения правил вида (3.3) характеристику, которую назовем функцией качества восста­новления (ФКВ). Физически ФКВ представляет собой распреде­ление результатов восстановления по состояниям аппроксимиру­ющей цепи Маркова. Характер ФКВ зависит от конструктивных особенностей восстанавливаемых АС, операций, используемых в процессе восстановления (замена функционального элемента, на­стройка, регулировка, необходимость применения пайки или сва­рочных работ и т. п.), квалификации инженерно-технического со­става, качества применяемой контрольно-измерительной аппарату­ры, условий проведения восстановительных работ и т. п. В частно­сти, в работе [21] показано, что между временем, отводимым на

регулировку радиоаппаратуры, и формой ФК. В существует явная зависимость. Качественно эта зависимость сводится к следующе­му. При отсутствии ограничений на продолжительность настройки параметра с двухсторонним допуском распределение результатов регулировок имеет колоколообразный вид с центром, соответству­ющим номинальному значению. По мере того как время, отводимое на регулировки, сокращается, это распределение переходит в рав­номерное, а затем и в бимодальное, причем в последнем случае моды примыкают к границам области работоспособности.

Все эти факторы в конечном итоге ограничивают область воз­можных решений. Учтем эти ограничения в формулировке задачи по отысканию оптимальных моментов проведения восстановитель­ных работ.

Из (3.7) следует, что хгк представляют собой условную веро­ятность принять решение dis и в соответствии с этим решением из­менить i-e состояние параметра на состояние s. Будем рассматри­вать неполное восстановление, как невозможность (или ограничен­ную возможность) осуществить переход в состояние 5 = 1 из любо­го состояния i=2, 3,. .., F. Формализованно это условие может быть записано в следующем виде:

F

^xn^w, 0<да<Л. (3.36)!

1=2

Нетрудно заметить, что если такое ограничение существует не только для состояния s—1, но и для некоторой области S, вклю­чающей несколько состояний, то (3.36) примет вид:

(3.37)

ses 1=1 і А — s

Если область S состоит из нескольких подобластей Sj таких,

т т

что U Sj—S, П Sj=0, то условие (3.37) может быть представ-

1=і /=і

лено в виде условий, каждое из которых определяет ограниченную возможность (или невозможность) перевода в состояния, относя­щиеся к соответствующей подобласти Sy.

(2 2

I s6St і фа

…………………………………………………………………. (3.38)

т

22 Xis •< Wm, причем 2 Wj-^W. sesm іфа 7 = 1

Окончательно задача определения оптимального правила про­ведения восстановительных работ с учетом ограничений на допу­стимые решения сводится к выбору переменных Xis, минимизирую­щих (3.6) при ограничениях (3.5), (3.38). Введение ограничений

Рис. 3.2. Зависимость нормированных удельных затрат х от степени ограниче­ния на решения w:

а)—при вариации отношения затрат q и S=Si 1—q= (0,4—1); 2—р=0,2; 3—р=0.09; 4—р=0,05; •б)—при различных размерах области 5 и 0,2^q^1: 1—2—S=S2; 3—S=«S3 вида (3.38) по аналогии с ограничением (3.29) может привести к увеличению средних удельных ‘затрат, рандомизации решений и из­менению значения упреждающего допуска.

Пример 4. Опишем результаты решения задачи линейного программирова­ния с учетом дополнительных ограничений (3.37) при исходных данных при­мера § 3.1. Чтобы оценить влияние ограничений (3.37) на вид получающихся решений и другие характеристики, рассмотрим результаты расчетов величины у (рис. 3.2) для трех вариантов области S:

S1={s = l}; S2= {я-=1,2}; S3= {s = 1,2, 3}.

Из рис. ‘3.2, а видно, что введение ограничений на допустимые решения ‘приводит к возрастанию средних удельных затрат. Так, при g = 0,2-^l такое увеличение составляет примерно 6%; при малых g (0,05—0,09) влияние ограни­чений (3.37) проявляется более резко. Например, при w = 0,014-0,0001 уменьше­ние величины у составляет 5—10%, что существенно меньше потенциально воз­можного сокращения средних удельных затрат (см. табл. 3.1).

Введение более жестких ограничений на допустимые решения (увеличение области S) приводит к ухудшению характеристик готовности (рис. 3.2,6). Так, при увеличении области S с Si до S3 значение у возрастает на 6—12%, что объясняется большим числом ремонтных работ.

Матрица решений с учетом ограничения (3.37) при g = 0,09, S = Sf и w — 0,1 имеет‘вид:

(3. 39) 0,213 0,787

V

Сравнение матриц (3.17) и (3.39) показывает, что введение ограничений <(3.37) приводит к изменению упреждающего допуска І* и рандомизации эле­ментов матрицы решений. Представление о характере изменения упреждающего допуска можно получить на основании анализа результатов, полученных при решении задачи с учетом ограничений (3.37) при S=S, и р=|0,<0Э. При w=

= 1 —0,4 значение і* сохраняется прежним и равно 4. Введение 0,2’увели­чивает упреждающий допуск до /* = 6.

Оценим влияние ограничений вида (3.37) на характеристики безотказности (табл. 3.6), где

ц = TFF(w)[TFF(w = 1,0).

Из таблицы видно, что с введением ограничений на допустимые решения: характеристики безотказности ухудшаются. При фиксированных значениях g по мере увеличения области S среднее время между отказами убывает. Для g=l и 0,2 значения среднего времени между отказами для одних и тех же областей S практически везде совпадают. Однако при g = 0,2 введение ограни­чений сильнее сказывается на характеристиках безотказности, так как потенци­ально возможно получить большее значение среднего времени между отказами.

Т а б л и ц а 3.6 5- S, S= s3 0«1 0=0.2 Q =* 1 О=0.2 вое становления 7 1 TFF(w) ‘П ‘П і 10,53 1 13,9 1 10,53 1 13,9 1 0,1 10,45 0,99 10,66 0,76 10,4 0,98 10,6 0,76 0,01 9,92 0,945 9,92 0,715 9,4 0,89 9,4 0,675 0,001 9,92 0,945 9,92 0,715 9,35 0,885 9,35 0,670 0,0001 9,90 0,94 9,90 0,71 9,35 0,885 9,35 0,670

Практически важной является ситуация, когда при организации эксплуатации АС необходимо учесть как неполное восстановление вследствие ограничений на допустимые решения, так и обеспечить вероятность отказа к очередному моменту контроля не выше за­данной. Математически такая задача сводится к задаче линейного программирования по минимизации целевой функции выбранного вида (в том числе и учитывающей достоверность контроля) при ограничениях (3.5), (3.29), (3.38). Следует заметить, что в такой постановке задача не всегда имеет решение. Это объясняется тем, что при совместном использовании ограничений (3.29) и (3.38) об­щая система ограничений может быть противоречивой. Существо­вание решений такой задачи определяется на основе теоремы Кро — некера-Капелли, в соответствии с которой необходимым и достаточ­ным условием непротиворечивости системы линейных уравнений (ограничений) является равенство рангов матрицы, составленной из коэффициентов при переменных Xis и расширенной’ матрицы. Если ранг расширенной матрицы больше ранга исходной матрицы, то система ограничений противоречива, и задача линейного програм­мирования решения не имеет. Это означает, что величины v, w или обе вместе выбраны малыми.

Решение может существовать при больших значениях с и ». При увеличении w необходимы организационно-технические меро­приятия, направленные на улучшение условий труда инженерно — технического состава, повышение его эффективности и т. п. Реше­ние задачи при большем значении v означает, что допускается больший риск появления неблагоприятных событий, связанных с

отказом АС. Если это недопустимо, то возможность обеспечить функционирование АС с заданным значением v заключается в улучшении ее характеристик надежности вообще си, в частности, в уменьшении значений элементов qiF матрицы Q (например, пу­тем доработок).

При совместном учете указанных ограничений по-прежнему возможны увеличение средних удельных затрат, рандомизация элементов матрицы решений и изменение упреждающего допуска.

3.4. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРЕЖДАЮЩЕГО ДОПУСКА

Эксплуатация АС при введении упреждающего допуска позво­ляет получить ряд преимуществ по сравнению с эксплуатацией до отказа. Однако выигрыш в средних удельных затратах или в без­отказности существенно зависит от значения упреждающего допу­ска, что предъявляет повышенные требования к точности его оп­ределения. Поэтому крайне важно иметь уверенность в том, что ме­тод определения упреждающего допуска, основанный на решении задачи линейного программирования, позволяет точно вычислить его значение.

Иными словами, возникает задача оценки достоверности реше­ния задачи линейного программирования.

Методология проверки правильности решения заключается в по­лу чем и п решения той же задачи другим методом, принципиально отличающимся от первого. Применительно к задаче линейного про­граммирования выберем в качестве контрольного метод статисти­ческого моделирования. Выбор этого метода обусловлен простотой его реализации, наглядностью и легкостью интерпретации проме­жуточных и конечных результатов, а также возможностью их по­лучения с любой наперед заданной точностью, хотя последнее свой­ство метода связано с увеличением объема расчетов.

Поясним подробнее принцип определения упреждающего допу — • ска. Основная цель заключается в том, что для заданного слу­чайного процесса необходимо определить такое значение і*, при котором достигается минимум средних удельных затрат при длительной эксплуатации (строго, при /-»-оо).

Рассмотрим процесс эксплуатации АС, восстановление которой производится только при отказе (£* = Г). Пусть Т —- суммарное время наработки, в течение которого было произведено п(Т) вос­становлений, причем каждое восстановление требует Тр чел-ч. Тогда оценка средних удельных затрат gr(F) =n(T)TvT~l. Введем теперь некоторый допуск i<F, при достижении которого будем производить предупредительные работы со средними затратами ГП<ГР. Очевидно, что за время наработки Т будет выполнено ка­кое-то число восстановлений после отказа П(Т) <п(Г) и некото­рое количество восстановлений типа предупредительных работ н2(Г). Для этого случая оценку средних удельных затрат можно вычислить по формуле

8т (1)= К (Т) Гр+щ (Г) Тв] Т~ (3.40)

Ясно, что при изменении значения і будут меняться. величины Пі(Т) И П2(Т), а следовательно, и значение gT(і). Тогда изменяя Ї и фиксируя количество П(Т) и п2(Т), на основе выражения (3.40) можно получить зависимость gr (г). Кривая этой зависимо­сти имеет единственный минимум по і, который может размещать­ся как внутри, так и на границе диапазона его изменения, т. е. на границе области работоспособности. Выбирая из полученной сово­купности величин gr^) минимальную, найдем соответствующий ей упреждающий допуск t*, который и будет оптимальным по вы­бранному критерию.

Для удобства расчетов оценка величины gr(i) осуществлялась не для абсолютных значений Тп и Тр, а для нормированной вели­чины Q —Гп/Д,, Ocq-cI. Возможность такого подхода была пока­зана при анализе выражения для средних удельных затрат в § 3.1 (см. выражение (3.15) и комментарий к нему). Искомое значение средних удельных затрат g(t’) = limgr (г)и для его вычисления тре-

Г-*-О0

буется бесконечное время моделирования. При практических рас­четах величина Т выбирается из условия, чтобы две. соседние оцен­ки ghT и g(fe+i)T не отличались более, чем на заранее заданную ма­лую величину 6>0, т. е. |gfcT(i) —g(h+i)r,(i) |<б, где k=l, 2.. . Од­нако при таком ‘подходе есть одна особенность: оценка ghT (і) явля­ется случайной величиной, а для того чтобы эта величина была ста­тистически устойчивой, необходимо ее усреднить по множеству. С этой целью при каждом к= 1, 2… определяют такие средние значения, чтобы модуль их разности не превышал е>0. При вы-

N+1

волнении этого условия величина (A’ — j — 1)1 ^ (/) выбирается в

s-l

качестве оценки для ghT (і), которая в дальнейшем используется при принятии решения об окончании моделирования и вычисления (величины gl (0-

Рассмотрим взаимодействие блоков алгоритма (рис. 3.3), обес­печивающего решение этой задачи. Оператором 1 вводятся следу­ющие исходные данные: матрица значений вероятностей переходов Q, значения точности вычислений б и е, нормированные затраты g. Оператор 2 моделирует цепь Маркова [37]. В операторе 3 осуществ­ляется сравнение текущего состояния цепи Маркова с выбранным значением упреждающего допуска і или с границей отказа F. В за­висимости от полученного результата сравнения фиксируется либо ремонт, либо предупредительное восстановление и производится раздельное накопление их числа с помощью операторов 4 и 5. Опе­ратор 6 суммирует числа шагов моделирования, что эквивалентно — накоплению значения наработки. При достижении текущей нара­ботки значения Т вычисляются общие затраты за этот период (опе­ратор 7) и удельные затраты (оператор 8). Далее осуществляется контроль точности (оператор 9) сначала по величине є, а затем по величине б. Если заданные точности не достигнуты, то процесс моделирования повторяется, при этом изменяется вначале количе­ство реализации при каждом Т, а затем величина k. При выполне­

но

j<i

пии требований по точности оператор 10 фиксирует вычисленное значение g(i), оператор 11 изменяет значение і, и процесс повто­ряется до тех пор, пока нс будут исчерпаны все заданные значения I. В полученном наборе {g (i), 1= 1, 2,…, F) отыскивается зна­чение

g*(/)=min{g(/)}, (3.41)

которое и определит упреждающий допуск I*. Для сокращения объема вычислений вариация уровня і может осуществляться так, чтобы начальное значение было равно F. Это позволяет, проводя анализ полученных значений g(i) (оператор 12), останавливать

Таблица 3.7 Текущий уровень остановки і с 1 2 3 4 5 6 7 0.01 0,0391 0,0380 0,0441 0,0575 0,0660 0,0736 0 0957 0,05 0,0797 0,647 0,0628 0,0692 0,0732 0,0770 0,0948 0,1 ‘ 0,1301 0,0967 0,0860 0,0853 0,0833 0,0830 0,0949 0,2 0,2236 0,1627 0,1367 0,1174 0,1037 0,0947 0,0965 0,4 0,4174 0,3016 0,2310 0,1791 0,1471 0,1140 0,0959 0,6 0,6119 0,4286 0,3237 0,2415 0,1866 0,1351 0,0948 0,8 0,8059 0,5674 0,4211 0,3029 0,2282 0,1565 0,0964

моделирование тогда, когда первый раз будет получено минималь­ное значение g{i), что определяется по факту, когда очередное зна­чение g(£+ I) >g (i) ■ Приведем результаты оценки значений сред­них удельных затрат (табл. 3.7) для параметра, описываемого мат­рицей (3.16).

Анализ таблицы на основе (3.41) позволяет определить мини­мальное значение средних удельных затрат (см. подчеркнутые значения) и соответствующие им оптимальные упреждающие допу­ски. Сравнение значений i’*(q), полученных методом статистиче­ского моделирования и на основе решения задачи линейного про­граммирования (см. табл. 3.1), показывает их идентичность, что доказывает достоверность результатов, полученных в результате применения алгоритма (3.8), (3.9).

Глава IV